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두 홀수의 곱이 홀수가 됨을 증명하시오.
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홀수인 m,n ∈ \(\mathbb{N}\)(자연수의 집합)이 있다고 할 경우
m = 2k + 1이고 n = 2\(l\) +1인 k, \(l\) ∈ \(\mathbb{N}\)이 존재함
∴ mn = (2k + 1)(2\(l\) + 1) = 2(2k\(l\) + k + \(l\)) + 1이 되어서 mn은 홀수임
모든 n ∈ \(\mathbb{N}\)(자연수의 집합) 대하여 \( n^3 + n\)은 짝수임을 보이시오.
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[경우 1] n이 짝수인 경우
어떤 k ∈ \(\mathbb{N}\)에 대하여 n = 2k로 표현할 수 있음
\(n^3 + n = (2k)^3 + 2k = 2(4k^3 + k)\)
∴ 짝수가 됨
[경우 2] n이 홀수인 경우
어떤 k ∈ \(\mathbb{N}\)에 대하여 n = 2k + 1로 표현할 수 있음
\(n^3 + n = (2k + 1)^3 + (2k + 1) = 2(4k^3 + 6k^2 + 4k +1)\)
∴ 짝수가 됨
\(|a| > |b|\)일 때 \(a^2 > b^2\)임을 증명하시오.
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[1] \(a, b > 0\) 이고 \(a > b\) 이면 \(a^2 > b^2\)다.
[2] 어떤 a,b에 대해서도 \(|a|, |b| > 0\)이므로 \(|a|, |b|\)일때 \(|a|^2 > |b|^2\) 다.
[3] \(|a|^2 = |a|^2\)이고 \(|b|^2 = |b|^2\)이다
∴ \(|a| > |b|\)일때 \(a^2 > b^2\)
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